博客详情

7日上午，OpenAI 将某尚未公开发布的内部模型所生成的 722 篇数学稿件一次性公开在 GitHub 上。关于此次发布的背景、模型细节以及数学界的反应，我们在之前的文章中已有梳理。本文则转换视角，打开该仓库，检视其清单中具体包含了哪些成果。

仓库地址：https://github.com/openai/math

首先，需要明确几点：

第一，这 722 篇手稿被划分至 372 个“成果簇”，涵盖数论、几何、理论计算机、数学物理等 17 个领域，本文按领域挑选其中知名度最高、涉及问题最古老的部分进行介绍。

第二，清单中既有“证明”也有“证伪”。根据粗略检索，摘要中出现“证伪”“反例”等词汇的成果簇约有 50 个，一些流传超过半个世纪的猜想是被推翻而非被证实。

第三，也是最重要的一点：下文所有“证明了”“解决了”均来自 OpenAI 自身的表述，绝大多数尚未经过同行评审。其中约六成成果簇附有 Lean 形式化验证，即由计算机逐行检查过的证明，我们会在提及处注明；未形式化的结果，目前仅能视为“声称”。

数论：从黎曼到希尔伯特

数论是这份清单中最引人注目的部分，31 个成果簇中有多项直接关联史上最著名的名称。

排在仓库第 003 号的 准黎曼猜想，是传播最广的成果之一。黎曼于 1859 年提出，zeta 函数的非平凡零点全部位于一条竖线上；由于这一终极目标过于遥远，数学家转而寻求证明某条竖线右侧毫无零点。一个多世纪以来，这一目标始终未能实现。OpenAI 声称将这条线定位在 7/8 处，且对 zeta 函数及所有狄利克雷 L 函数同时成立，并附带了 Lean 形式化验证。

与黎曼猜想同属千禧年大奖难题的 BSD 猜想，也出现在清单中。该猜想探讨椭圆曲线上有理点的数量与一个解析函数在特定点的行为之间的精确对应关系。OpenAI 的第 002 和 006 号成果簇联合声称，对于每条有理椭圆曲线，在其“几乎所有”二次扭曲上均证明了完整的 BSD 公式；其中 006 号还附带证明了数论学家 Dorian Goldfeld 于 1979 年提出的 Goldfeld 猜想。这两项成果均未形式化。

第 004 号成果指向 1900 年 希尔伯特提出的 23 个问题中的第十个。原问题询问：是否存在一种通用算法，可判定任意整系数多项式方程是否有整数解？1970 年，Yuri Matiyasevich 基于前人工作给出了否定答案。但若将“整数解”替换为“有理数解”，该问题便悬而未决超过半个世纪。OpenAI 声称这一版本的答案同样是否定的，该项成果也未形式化。

还有两项成果，普通读者也能一眼理解题意。

一是 卡塔兰常数，即 1 减 1/9 加 1/25 减 1/49 如此交替求和的结果，其是否为无理数一直未知；OpenAI 声称它是无理数。

二是 圆周率 π “被分数逼近的难度”：此前数学家能证明的上界约为 7.1，OpenAI 声称最优值恰好为 2，意味着 π 在这方面与“绝大多数”无理数一样普通。后者还顺便解决了趣味数学界流传多年的问题，即所谓的 Flint Hills 级数是否收敛。这两项成果均附有 Lean 形式化验证。

代数几何：霍奇猜想的一角，与有理性之谜

代数与复几何以 36 个成果簇位列第三。其中最引人注目的是第 032 号：对所有复 CM 阿贝尔簇证明有理霍奇猜想。霍奇猜想是千禧年大奖难题之一，大意是某些“拓扑上看似几何对象”的事物，必然能由代数方程精确刻画。CM 阿贝尔簇是一类对称性极强的特殊对象，远非全部情形，但 OpenAI 声称借助 James Milne 此前的定理，该结果还可推出有限域上所有阿贝尔簇的 Tate 猜想。仓库 README 也特别注明，该项成果未遵循模型的标准流程，且目前未形式化。

另一项值得关注的成果是第 054 号。三次四维簇能否被有理参数化，是代数几何中公认的难题，Alexander Kuznetsov 曾提出一个基于“范畴”语言进行判断的猜想。OpenAI 声称构造出了满足该判据、却仍无法有理参数化的例子，从而推翻了该猜想。

再往抽象层面，清单中还有第 069 号的 量子几何朗兰兹对应。2024 年，Dennis Gaitsgory 等人以近千页的系列论文证明了几何朗兰兹猜想，OpenAI 声称将其“量子”版本在无理参数下也实现了。

第 008 号则声称解决了关于 Grothendieck–Teichmüller 李代数结构的 Deligne–Drinfeld 猜想，并附有 Lean 形式化验证。

分析与几何：挂谷、马勒和一百年前的猜想

几何与分析方向的名题同样密集。

挂谷问题（第 074 号）起源于 1917 年日本数学家挂谷宗一的一个小问题：一根针要在平面上旋转一整圈，至少需要扫过多大面积？其高维版本演变为调和分析的核心难题之一。今年 7 月，王虹因与 Joshua Zahl 合作证明三维挂谷集合猜想而获得菲尔兹奖；OpenAI 声称在此基础上更进一步，证明了三维的更强版本和四维的维数猜想。该项成果未形式化，也是最需要专家尽快审读的成果之一。

马勒猜想（第 087 号）由 Kurt Mahler 于 1939 年提出，询问一个凸体与其“对偶体”的体积乘积最小能有多小，直至 2020 年才有日本数学家解决了三维对称情形。OpenAI 声称 在所有维数上同时解决了对称与非对称两个版本，并刻画了所有取到最小值的情形，附有 Lean 形式化验证。

第 071 号回到了更古老的年代。1908 年，Paul Koebe 猜想平面上任何区域均可通过保角变换，变成边界全为圆或点的“圆域”。OpenAI 声称解决了该猜想的存在性部分，附有 Lean 形式化验证。

几何方向的其他亮点还包括：任意黎曼度量下的高维球面均有无穷多条闭测地线（第 345 号），以及 度量版 Blaschke 猜想（第 344 号），这两项成果目前均未形式化。

理论计算机：唯一游戏猜想落地

理论计算机科学是整个仓库中成果簇最多的方向，共计 40 个。其中分量最重的是第 102 号：唯一游戏猜想。

该猜想由 Subhash Khot 于 2002 年提出，Khot 后来因此获得 2014 年奈望林纳奖。其意义在于，若猜想成立，则一大批经典优化问题，例如将图的顶点分成两组、使组间连边尽可能多的 Max-Cut 问题，其“最佳近似程度”将被一锤定音。2018 年，Khot 与合作者证明了其较弱的“2 对 2”版本，但完整猜想一直悬而未决。OpenAI 声称给出了完整证明，并直接推出 Max-Cut、顶点覆盖等问题的最优近似门槛，主结果附有 Lean 形式化验证。

同一方向的第 106 号也值得一提：对于一张已知可用三种颜色着色的图，用任何固定数量的颜色去着色均是 NP 困难的。该问题看似简单，却困扰理论计算机科学界数十年，同样附有 Lean 形式化验证。

组合与图论：一个经典猜想被推翻

组合数学有 37 个成果簇，其中最出人意料的是第 157 号：推翻 Hadwiger 猜想。

Hadwiger 猜想由 Hugo Hadwiger 于 1943 年提出，是著名的四色定理的推广，长期被视为图论中最重要的开放问题之一，此前仅在小规模情形下被证明成立。OpenAI 声称构造出了任意大的反例，且是在比原猜想更弱的“分数着色”版本下就已不成立，附有 Lean 形式化验证。若该结果经得起检验，其在图论界的冲击力可能不亚于任何一项证明。

另一项与着色相关的成果是第 158 号：平面无法只用五种颜色完成“距离为 1 的两点不同色”的染色。这就是著名的 平面染色数问题。数十年来，答案一直被限定在 4 到 7 之间，2018 年 Aubrey de Grey 借助计算机将下界提升至 5；OpenAI 声称再提升至 6，于是仅剩 6 和 7 两种可能，附有 Lean 形式化验证。

第 159 号则关乎埃尔德什最著名的猜想之一：若一组正整数的倒数之和发散，则其中一定包含任意长的等差数列。2004 年，Ben Green 与陶哲轩证明了素数中存在任意长的等差数列，这正是该猜想的一个特例；埃尔德什生前曾为其悬赏 5000 美元。OpenAI 声称证明了猜想本身，附有 Lean 形式化验证。

此外，第 179 号还声称解决了 Herbert Ryser 于 1963 年提出的 循环 Hadamard 矩阵猜想。

代数与算子代数：一连串“反例”

如果说其他方向以证明为主，那么代数和算子代数方向则以证伪居多。

Irving Kaplansky 在上世纪中叶提出了一组关于群代数的猜想，其中“单位猜想”已于 2021 年被 Giles Gardam 用计算机辅助搜索出的反例推翻。此次，OpenAI 在第 196 号中声称 推翻了同组里的零因子猜想，在第 197 号中 推翻了直接有限性猜想，均附有 Lean 形式化验证；第 294 号还 推翻了 Kaplansky 关于 C 代数中拟迹的另一个猜想*。

第 285 号的分量更重：它声称给出了 无系数版 Baum–Connes 猜想的反例，并同时 推翻 Kadison–Kaplansky 猜想。Baum–Connes 猜想自 1982 年提出以来，是连接几何、拓扑与算子代数的枢纽性猜想，此前已知的反例均需额外条件。该项成果目前未形式化。

同一方向唯一一项“正面”结果却同样重磅。第 287 号声称 解决了自由群因子同构问题：不同数量生成元的自由群所对应的冯·诺依曼代数，是否属于同一事物。这是算子代数领域最著名的未解问题之一，OpenAI 给出的答案是“全部同构”，附有 Lean 形式化验证。

数学物理：给物理学家的直觉补上证明

数学物理与概率统计力学两个方向合计 54 个成果簇，这里的许多结论物理学家早已“相信”，只是缺少严格证明。

第 268 号声称证明了 Haldane 猜想：自旋为 1 的反铁磁海森堡链存在能隙。这一预言由 Duncan Haldane 于 1983 年提出，是他获得 2016 年诺贝尔物理学奖的工作之一。

第 271 号则声称严格证明了 Felix Bloch 于 1930 年提出的 铁磁体低温磁化 T 的 3/2 次方定律，并给出精确系数。

第 216 号关注的 BKT 相变，同样是 2016 年诺贝尔物理学奖的主题；第 221 号的 Mézard–Parisi 公式，则与 2021 年诺贝尔物理学奖得主 Giorgio Parisi 的自旋玻璃理论有关。

第 215 号声称 构造了二维 O(3) 模型的连续极限，并证明其存在正的质量间隙，附有 Lean 形式化验证。该模型常被视为杨-米尔斯理论的“玩具版”，后者的质量间隙问题本身就是千禧年大奖难题之一。

流体方向也有惊喜。除了 9 月已公布的 Navier-Stokes 奇点结果，仓库第 376 号声称构造出一种在外力驱动下可执行任意图灵机程序的 Navier-Stokes 流体，即 “用流体做通用计算”，附有 Lean 形式化验证。陶哲轩曾在 2016 年设想，用流体搭建“计算机”或许是理解 Navier-Stokes 方程奇点的一条路径。

第 362 号则声称证明了 三维相对论 Vlasov–Maxwell 方程组在大初值下的整体光滑解，附有 Lean 形式化验证。

写在最后

将这份清单从头翻到尾，最直观的感受是“密度”。一个研究生在其子领域内能叫出名字的经典问题，通常只有一两个，而这里在每个方向都排了好几个。许多问题的年龄比提出它们的数学家还要长。

但密度也是这份清单最需要冷静对待的地方。社交媒体上最热门的几项，如四维挂谷、霍奇猜想的 CM 情形、有理数域上的希尔伯特第十问题、Baum–Connes 反例，恰好都尚未 Lean 形式化。即便是已形式化的结果，形式化证明是否忠实对应了猜想的原始表述，仍需专家逐一确认。按照数学界的惯例，单是其中任何一项被学界真正接纳，都可能需要数月乃至数年。正如 OpenAI CEO Sam Altman 引述之诗描写的那样：“沧海辽阔，而我的船如此渺小。”

清单已经公开在那里。接下来的问题，是 722 篇手稿中有多少能经受住检验，而数学家们又需要多久才能读完它们。

本文来自微信公众号“机器之心”（ID：almosthuman2014），作者：关注AI的机器之心，编辑：Panda，36氪经授权发布。